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人教版六上册《百分数(一)》教材分析和重难点突破
文章来源:数学吧 更新时间:2016/12/18 浏览次数:(载入中...)

 百分数在生活中有着广泛的应用,人们常用百分数对事物进行描述、分析、统计、比较。虽然学生在日常生活中已经大量接触了百分数,但是对百分数的意义以及其应用价值的认识还处于模糊阶段。本单元在学生学习了整数、分数、小数相关知识的基础上,正式认识百分数。百分数表示的是一个数是另一个数的百分之几,因此,它是一种特殊的分数,有关百分数的计算与应用都可以由分数的相关知识迁移过来。由于百分数与实际生活联系紧密,学习百分数对理解和判断生活中相关数据信息以及运用百分数解决日常生活中的实际问题有着重要的意义。本单元的内容包括百分数的意义和读、写;百分数和分数、小数的互化;用百分数解决问题等。

一、与实验教材(《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》,下同)的主要区别

(一)把“百分数的应用”分成两部分。新教材的六年级上册主要教学百分数的意义及一般性应用,把百分数的特殊应用(如利率、折扣、成数)移至六年级下册的教材中。两部分内容的着眼点有所不同,六年级上册的教学重点是利用知识的迁移,认识百分数的意义及一般性应用;而六年级下册的教学重点是了解百分数在生活中一些特殊领域的应用,更强调对其实际意义的理解。

(二)把百分数与分数、小数的互化与求百分率、求一个数的百分之几是多少结合起来,注重在应用过程中自然地引导学生把百分数和分数、小数进行互化。教材在编排百分数与分数、小数的互化时进行了新的尝试。结合“求一个数是另一个数的百分之几”的问题(如求命中率)教学如何把分数、小数化成百分数,结合“求一个数的百分之几是多少”的问题教学如何把百分数化成分数或小数。因为在求一个数是另一个数的百分之几时,求出的结果或者是分数的形式,或者是小数的形式,而题目要求以百分数的形式呈现结果,就自然产生了把分数和小数化成百分数的需要;在求一个数的百分之几是多少时,只有把百分之几化成分数或小数,才能进行计算。这样编排,一是更能体现将百分数与分数、小数进行互化的必要性;二是大大缩减了例题的容量。

(三)增加用单位“1”解决的实际问题。教材5选取了“某种商品4月的价格比3月降了20%5月的价格比4月又涨了20%5月的价格和3月比是涨了还是降了?”这样一个既有趣又有挑战性的教学问题。问题中没有提供商品的具体价格,有利于激发学生的探究兴趣,也有利于学生进一步掌握解决百分数应用问题的本质特征,用单位“1”找准量率之间的关系,从而从更一般的意义上建立解决问题的数学模型。

二、教材例题分析

(一)百分数的意义

教材从日常生活中常见的百分数入手,呈现的三个实例中的百分数包括百分号前面的数的是整数的、小数的、小于100的、大于100的,使学生认识各种情形的百分数。让学生说说还在什么地方见过这样的数,直接指出这样的数是百分数,并直接给出百分数的意义,再让学生根据此意义描述实例中百分数的实际含义。引导学生找出相比的量是哪两个,这两个量之间有什么样的关系。这与分数教学中强调“量率对应”的思想是一致的。

由于百分数只能表示两个量之间的一种比的关系,在生活中也叫百分率或百分比,如“出勤率”“发芽率”等。由于百分数是一种比,因此也可以从比的角度解释相关概念。

接下来,教材呈现了前面所引出的三个百分数的读写,具有一定的代表性(分别是整数、小数和大于100的数的情况)。

这样安排,体现了从生活中引出数学知识的理念,让学生联系百分数在生活实际中的广泛应用来理解其意义

(二)百分数、小数、分数的互化

1求一个数是另一个数的百分之几(分数、小数化成百分数)

本例有两个教学目标:一是会解决“求一个数是另一个数的百分之几”的问题,二是在解决问题的过程中学会把分数、小数化成百分数的方法。这样编排,既凸显了转化的必要性,又把分数化成百分数、小数化成百分数整合在一起。

教材通过求投篮命中率的情境引入,并直接给出命中率的概念,使学生明白:要把最终结果化成百分数,再进行比较。根据“求一个数是另一个数的几分之几”,列出除法算式3÷54÷6。两种不同的运算,产生了小数和分数的结果,很自然地产生“如何把小数和分数化成百分数”的需求。

教材选取的数据具有典型性。3÷54÷6这两个算式,3÷5能得到有限小数,也能直接将分数结果化成分母是100的分数;4÷6则无法除尽,需取近似值,且无法直接将分数结果化成分母是100的分数。这些情况基本涵盖了小数、分数化成百分数的所有可能性。

在此基础上,再让学生理解生活中其他一些“百分率”的含义,水到渠成。

2:求一个数的百分之几是多少(百分数化成分数、小数)

2也有两个教学目标:一是会解决求一个数的百分之几是多少的问题,二是在解决问题的过程中学会把百分数化成分数、小数的方法。这样编排,既凸显了转化的必要性,又把百分数化成分数、百分数化成小数整合在一起。

教材注重将新知与原有知识进行沟通和联系,提示“求一个数的百分之几”和“求一个数的几分之几”意义相同,引导学生在已有知识基础上寻找数量关系,正确列式。利用两种不同的计算方法,体现把百分数化成分数或小数的必要性。由于百分数无法直接参与运算,需要利用它和分数、小数的关系,把它“等值转化”成分数或小数,再进行计算。

百分数化成小数,先把百分数改写成分数是100的分数,再根据小数的意义(或进行除法计算),改写成小数。在此基础上,观察到只要把百分数小数点左移两位,去掉百分号即可,这是把小数化成百分数的逆过程。百分数化成分数,也是把百分数先改写成分数是100的分数,再约分化简。

(三)用百分数解决问题

3:求一个数比另一个数多(或少)百分之几

本例是求一个数比另一个数增加(或减少)百分之几,是求一个数是另一个数的百分之几的延伸和发展,其数量关系和求一个数比另一个数多(或少)几分之几是一致的。教材呈现了两种解决问题的方法,拓宽学生的解题思路:①先求出实际比原计划增加的公顷数,再求出增加的公顷数是原计划的百分之几。 ②先求出实际造林的公顷数是原计划的百分之几,再减去100%,就是实际造林比原计划增加了百分之几。为了帮助学生理解数量关系,教材利用线段图直观表示出量与量之间的关系,清晰地展示出谁和谁比,以谁为标准。

接下来,教材指出:在实际生活中,人们常用“增加百分之几”“减少百分之几”“节约百分之几”……来表示增加、减少的幅度。使学生理解:这些生活中的表述都可以归结为数学上的“求一个数比另一个数多(少)百分之几”。

4:求比一个数多(或少)百分之几的数是多少

4是解决求比一个数多(或少)百分之几的数是多少的问题,这类问题的数量关系与求比一个数多(或少)几分之几的数是多少的问题相同。由于有了相关知识基础,学生对解决此类问题不会感到困难。

教材提供了两种基本的解法,体现不同的解题思路,使学生看到每种解法中先算什么,再算什么,着重理解“增加了12%”是增加了谁的12%

5:用单位“1”解决实际问题

5选取了“某种商品4月的价格比3月降了20% 5月的价格比4月又涨了20%5月的价格和3月比是涨了还是降了?”这样一个既有趣又有挑战性的数学问题。问题中没有提供商品的具体价格,有利于激发学生的探究兴趣。

教材注重让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程。在“阅读与理解”时发现按照“要求涨幅或降幅,就要知道前后的价格”的常规思路,遇到了“原来价格未知”的障碍,由此产生假设原有价格的需要。

在学生提出问题的基础上,自主发现可以假设商品原来的价格为某个具体数值(比如100元)。这就将新的问题转化为已学过的问题,利用旧知加以解决。教材以商品原价100元为例,给出具体解法。在解决的过程中,学生可以发现降价的20%和涨价的20%是相对于不同的量而言的,因此,虽然降价和涨价的相对比率相同,降价和涨价的绝对数值却不同。

不同的假设,却可以得到相同的结果,这说明原价是多少并不会影响结论。在此基础上,提出可以把商品的原价假设成抽象的“1”。这个“1”不是“1元”,但可以代表“1元”“100元”“1000元”……是一个高度抽象的概念。

在“回顾与反思”阶段,引导学生进一步讨论:如果用更为一般的假设方法,把商品原价假设为元。此时5月的价格是,和3月价格相比,,结论不变,进一步验证了假设法的合理性和有效性。

本单元的教学重点是百分数的意义;百分数、小数、分数的互化;用百分数解决实际问题。教学难点是用单位“1”解决实际问题。

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